Лекция Предел функции

Лекция 2. Предел функции.


2.1. Предел функции в точке.


y f(x)


A + 

A

A - 


0 a -  a a +  x


Пусть функция f(x) определена в некой округи точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может Лекция Предел функции быть и не определена)


Определение. Число А именуется пределом функции f(x) при ха, если для хоть какого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что


0 < x - a < 

правильно неравенство Лекция Предел функции f(x) - A< .


То же определение может быть записано в другом виде:

Если а -  < x < a + , x  a, то правильно неравенство А -  < f(x) < A + .


Запись предела функции в точке:


Определение. Если Лекция Предел функции f(x)  A1 при х  а только при x < a, то - именуется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x)  A2 при х  а только при x > a, то именуется пределом функции f(x) в точке х = а справа.


у

f(x)


А2


А1


0 a x


Приведенное выше определение относится к случаю Лекция Предел функции, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некой сколь угодно малой округи этой точки.

Пределы А1 и А2 именуются также однобокими пределами функции f(x Лекция Предел функции) в точке х = а. Также молвят, что А – конечный предел функции f(x).





^ 2.2. Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.


Определение. Число А именуется пределом функции f(x) при х, если Лекция Предел функции для хоть какого числа >0 существует такое число М>0, что для всех х, х>M производится неравенство



При всем этом подразумевается, что функция f(x) определена в округи бесконечности.

Записывают:


Графически можно представить:




y y


A Лекция Предел функции A


0 0

x x


y y


A A




0 0

x x


Аналогично можно найти пределы для хоть какого х>M и

для хоть какого х

2.3. Главные аксиомы о границах.


Аксиома 1. , где С = const.


Последующие аксиомы справедливы при предположении, что функции Лекция Предел функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.


Аксиома 2.

Подтверждение этой аксиомы будет приведено ниже.


Аксиома 3.

Следствие.


Аксиома 4. при


Аксиома 5. Если f(x)>0 поблизости точки х = а и , то Лекция Предел функции А>0.

Аналогично определяется символ предела при f(x) < 0, f(x)  0, f(x)  0.


Аксиома 6. Если g(x)  f(x)  u(x) поблизости точки х = а и , то и .


Определение. Функция f(x Лекция Предел функции) именуется ограниченной поблизости точки х = а, если существует такое число М>0, что f(x)

Аксиома 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при ха, то она ограничена Лекция Предел функции поблизости точки х = а.

Подтверждение. Пусть , т.е. , тогда

либо

, т.е.

где М =  + А

Аксиома подтверждена.

lekciya-osobennosti-idejno-nravstvennogo-vospitaniya-v-sisteme-obrazovaniya.html
lekciya-pamyat-mikroprocessora-lekciya-pamyat-mikroprocessora.html
lekciya-pervaya-dornah-2-aprelya-1915-g-stranica-2.html