Лекция n 6


   Теория / ТОЭ / Лекция N 6. Базы матричных способов расчета электронных цепей.




Рассмотренные способы расчета электронных цепей – конкретно по законам Кирхгофа, способы контурных токов и узловых потенциалов – позволяют принципно высчитать всякую схему. Но их применение без использования Лекция n 6 введенных ранее топологических матриц правильно для относительно обычных схем. Внедрение матричных способов расчета позволяет формализовать процесс составления уравнений электрического баланса цепи, также упорядочить ввод данных в ЭВМ, что в особенности Лекция n 6 значительно при расчете сложных разветвленных схем.

Переходя к матричным способам расчета цепей, запишем закон Ома в матричной форме.

Пусть имеем схему по рис. 1, где  - источник тока. В согласовании с рассмотренным нами Лекция n 6 ранее законом Ома для участка цепи с ЭДС для данной схемы можно записать:



.

(1)

 

Но, для последующих выкладок будет удобнее представить ток  как сумму токов  k-й ветки и источника тока, т.е.:

.

(2)

 

Подставив (2) в Лекция n 6 (1), получим:



(3)

 

Формула (3) представляет собой аналитическое выражение закона Ома для участка цепи с источниками ЭДС и тока (обобщенной ветки).

Соотношение (3) запишем для всех n веток схемы в виде матричного равенства



либо

,

(4)

 

где Z – диагональная квадратная (размерностью Лекция n 6 n x n) матрица сопротивлений веток, все элементы которой (обоюдную индуктивность не учитываем), кроме частей главной диагонали, равны нулю.

Соотношение (4) представляет собой матричную запись закона Ома.

Если   обе части   равенства  (4)  умножить Лекция n 6  слева  на  контурную матрицу В  и  учитывать 2-ой закон Кирхгофа, согласно которому

,

(5)

 

то



(6)

 

другими словами получили новейшую запись в матричной форме второго закона Кирхгофа.

 

^ Способ контурных токов в матричной форме

В согласовании с Лекция n 6 введенным ранее понятием матрицы основных контуров В, записываемой для основных контуров, в качестве независящих переменных примем токи веток связи, которые и будут равны разыскиваемым контурным токам.

Уравнения с контурными токами получаются на основании Лекция n 6 второго закона Кирхгофа; их число равно числу независящих уравнений, составляемых для контуров, т.е. числу веток связи c=n-m+1. Выражение (6) запишем последующим образом:



(7)

 

В согласовании с способов контурных токов токи всех Лекция n 6 веток могут быть выражены как линейные композиции контурных токов либо в рассматриваемом случае токов веток связи. Если элементы j–го столбца матрицы В помножить подходящим образом на контурные токи, то сумма таких произведений Лекция n 6 и будет выражением тока j–й ветки через контурные токи (через токи веток связи). Произнесенное может быть записано в виде матричного соотношения

,  

(8)

 

где  - столбцовая матрица контурных токов;   - транспонированная контурная матрица.

С учетом (8) соотношение Лекция n 6 (7) можно записать, как:



(9)

 

Приобретенное уравнение представляет собой контурные уравнения в матричной форме. Если обозначить

,  

(10)






(11)

 

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по способу контурных токов:



(12)

 

где  - матрица контурных сопротивлений;  - матрица контурных ЭДС.

В развернутой Лекция n 6 форме (12) можно записать, как:

 ,

(13)

 

другими словами получили узнаваемый из способа контурных токов итог.

Разглядим пример составления контурных уравнений.

Пусть имеем схему по рис. 2. Данная схема имеет четыре узла (m=4) и 6 обобщенных веток Лекция n 6 (n=6). Число независящих контуров, равное числу веток связи,

c=n-m+1=6-4+1=3.

Граф схемы с избранным деревом (ветки 1, 2, 3) имеет вид по рис. 3.

Запишем матрицу контуров, которая будет являться матрицей основных контуров Лекция n 6, так как любая ветвь связи заходит исключительно в один контур. Принимая за направление обхода контуров направления веток связи, получим:

В



 

.Диагональная матрица сопротивлений веток

Z



 

 

Матрица контурных сопротивлений

Zk=BZBT



 



.

Матрицы ЭДС и токов источников












 

Тогда матрица контурных Лекция n 6 ЭДС





 

.

Матрица контурных токов



.

Таким макаром, совсем получаем:

,

где ; ; ; ; ; ; ; ; .

Анализ результатов указывает, что приобретенные три уравнения схожи тем, которые можно записать конкретно из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по способу контурных токов Лекция n 6.

 

^ Способ узловых потенциалов в матричной форме

На основании приобретенного выше соотношения (4), представляющего из себя, как было обозначено, матричную запись закона Ома, запишем матричное выражение:

,

(14)

 

где   - диагональная матрица проводимостей веток, все члены которой Лекция n 6, кроме частей главной диагонали, равны нулю.

Матрицы Z  и  Y взаимно обратны.

Умножив обе части равенства (14) на узловую матрицу А и беря во внимание 1-ый закон Кирхгофа, согласно которому

,  

(15)

 получим:

. .

(16)

Выражение (16) перепишем, как Лекция n 6:

.

(17)

 

Принимая потенциал узла, для которого отсутствует строчка в матрице А, равным нулю, определим напряжения на зажимах веток:

.  

(18)

Тогда получаем матричное уравнение вида:



(19)

Данное уравнение представляет собой узловые уравнения в матричной форме. Если Лекция n 6 обозначить



(20)






(21)

то получим матричную форму записи уравнений, составленных по способу узловых потенциалов:



(22)

 

где  - матрица узловых проводимостей;  - матрица узловых токов.

В развернутом виде соотношение (22) можно записать, как:



(23)

другими словами получили узнаваемый из способа узловых потенциалов итог Лекция n 6.

Разглядим составление узловых уравнений на примере схемы по рис. 4.





Данная схема имеет 3 узла (m=3) и 5 веток (n=5). Граф схемы с избранной ориентацией веток представлен на рис. 5.

Узловая матрица (примем )

А



                    

Диагональная матрица проводимостей Лекция n 6 веток:

Y

,

 

где .

Матрица узловых проводимостей





.

Матрицы токов и ЭДС источников





 





. .Как следует, матрица узловых токов будет иметь вид:





 

.Таким макаром, совсем получаем:

,

где ; ; ; ; .

Анализ результатов указывает, что приобретенные уравнения схожи тем, которые можно записать конкретно Лекция n 6 из рассмотрения схемы по известным правилам составления уравнений по способу узловых потенциалов.

Литература

  1. Базы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов Лекция n 6. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

  2. Бессонов Л.А. Теоретические базы электротехники: Электронные цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы Лекция n 6 и задачки

  1. В чем заключаются достоинства использования матричных способов расчета цепей?

  2. Запишите выражения матрицы контурных сопротивлений и матрицы контурных ЭДС.

  3. Запишите выражения матрицы узловых проводимостей и матрицы узловых токов.

  4. Составить узловые уравнения для Лекция n 6 цепи на рис. 2.

Ответ:

.

  1. Составить контурные уравнения для цепи рис. 4, приняв, что дерево образовано ветвями 3 и 4 (см. рис. 5).

Ответ:






   ^ Теория / ТОЭ / Лекция N 7. Преобразование энергии в электронной цепи. Моментальная Лекция n 6, активная, реактивная и полная мощности синусоидального тока.




Передача энергии w по электронной цепи (к примеру, по полосы электропередачи), рассеяние энергии, другими словами переход электрической энергии в термическую, также и другие виды преобразования энергии характеризуются Лекция n 6 интенсивностью, с которой протекает процесс, другими словами тем, сколько энергии передается по полосы в единицу времени, сколько энергии рассеивается в единицу времени. Интенсивность передачи либо преобразования энергии именуется мощностью р. Произнесенному Лекция n 6 соответствует математическое определение:



(1)

 

Выражение для моментального значения мощности в электронных цепях имеет вид:

.

(2)

 

Приняв исходную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз меж напряжением и током за , получим:



(3)

 



Итак, моментальная мощность Лекция n 6 имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока.

Когда моментальная мощность отрицательна, а это имеет место (см. рис. 1), когда u и i различных символов, т Лекция n 6.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике обратны, энергия ворачивается из двухполюсника источнику питания.

Таковой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия временами запасается в магнитных и электронных полях Лекция n 6 соответственно индуктивных и емкостных частей, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником двухполюснику в течение времени t равна .

Среднее за период значение моментальной мощности именуется активной мощностью .

Принимая во внимание, что , из Лекция n 6 (3) получим:



(4)

 

Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (по другому двухполюсник будет генерировать энергию), потому , т.е. на входе пассивного двухполюсника . Случай Р=0,  теоретически вероятен для двухполюсника, не имеющего активных сопротивлений Лекция n 6, а содержащего только безупречные индуктивные и емкостные элементы.

1. Резистор (безупречное активное сопротивление).



Тут напряжение и ток (см. рис. 2) совпадают по фазе , потому мощность  всегда положительна, т.е. резистор потребляет активную Лекция n 6 мощность




^ 2. Катушка индуктивности (идеальная  индуктивность)



При безупречной индуктивности ток отстает от напряжения по фазе на . Потому в согласовании с (3) можно записать .

Участок 1-2:  энергия , запасаемая в магнитном поле катушки, наращивается.

Участок 2-3: энергия магнитного поля убывает, ворачиваясь Лекция n 6 в источник.

^ 3. Конденсатор (идеальная  емкость)

Аналогичный нрав имеют процессы и для безупречной емкости. Тут . Потому из (3) вытекает, что . Таким макаром, в катушке индуктивности и конденсаторе активная мощность не потребляется (Р Лекция n 6=0), потому что в их не происходит необратимого преобразования энергии в другие виды энергии. Тут происходит только циркуляция энергии: электронная энергия запасается в магнитном поле катушки либо электронном поле конденсатора в протяжении Лекция n 6 четверти периода, а в протяжении последующей четверти периода энергия вновь ворачивается в сеть. В силу этого катушку индуктивности и конденсатор именуют реактивными элементами, а их сопротивления ХL  и ХС , в отличие от активного Лекция n 6 сопротивления R резистора, – реактивными.

Интенсивность обмена энергии принято охарактеризовывать большим значением скорости поступления энергии в магнитное поле катушки либо электронное поле конденсатора, которое именуется реактивной мощностью.

В общем случае выражение для Лекция n 6 реактивной мощности имеет вид:



(5)

 

Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка- ) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка- ). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности именуют вольт-ампер реактивный (ВАр).

А Лекция n 6 именно для катушки индуктивности имеем:

, потому что .

.

Из последнего видно, что реактивная мощность для безупречной катушки индуктивности пропорциональна частоте и наибольшему припасу энергии в катушке. Аналогично можно получить для безупречного конденсатора:

.

^ Полная Лекция n 6 мощность

Кроме понятий активной и реактивной мощностей в электротехнике обширно употребляется понятие полной мощности:



(6)

 

Активная, реактивная и полная мощности связаны последующим соотношением:



(7)

 

Отношение активной мощности к полной именуют коэффициентом мощности. Из приведенных выше соотношений видно Лекция n 6, что коэффициент мощности  равен косинусу угла сдвига меж током и напряжением. Итак,



(8)

 

^ Всеохватывающая мощность

Активную, реактивную и полную мощности можно найти, пользуясь всеохватывающими изображениями напряжения и тока. Пусть , а . Тогда комплекс полной мощности Лекция n 6:

,   

(9)

 

где  - комплекс, сопряженный с комплексом .

.

Всеохватывающей мощности можно поставить в соответствие треугольник мощностей (см. рис. 4). Рис. 4 соответствует   (активно-индуктивная нагрузка), для которого имеем:

.

^ Применение статических конденсаторов для увеличения cos

Как уже указывалось, реактивная Лекция n 6 мощность циркулирует меж источником и потребителем. Реактивный ток, не совершая полезной работы, приводит к дополнительным потерям в силовом оборудовании и, как следует, к завышению его установленной мощности. В этой связи Лекция n 6 понятно рвение к повышению  в силовых электронных цепях.

Следует указать, что подавляющее большая часть потребителей (электродвигатели, электронные печи, другие разные устройства и приборы) как нагрузка носит активно-индуктивный нрав.



Если параллельно таковой нагрузке Лекция n 6  (см. рис. 5), включить конденсатор С, то общий ток , как видно из векторной диаграммы (рис. 6), приближается по фазе к напряжению, т.е.  увеличивается, а общая величина тока (а как следует, утраты) миниатюризируется при всепостоянстве Лекция n 6 активной мощности . На этом основано применение конденсаторов для увеличения .

Какую емкость С  нужно взять, чтоб повысить коэффициент мощности от значения  до значения ?

Разложим  на активную  и реактивную  составляющие. Ток через конденсатор  компенсирует часть Лекция n 6 реактивной составляющей тока нагрузки :



(10)




;  

(11)




.

(12)

 

Из (11) и (12) с учетом (10) имеем

,

но , откуда нужная для увеличения  емкость:

.   

(13)

 

 

^ Баланс мощностей

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и может служить аспектом корректности расчета электронной цепи.

а Лекция n 6) Неизменный ток

Для хоть какой цепи неизменного тока производится соотношение:



(14)

 

Это уравнение представляет собой математическую форму записи баланса мощностей: суммарная мощность, генерируемая источниками электронной энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи Лекция n 6.

Следует указать, что в левой части (14) слагаемые имеют символ “+”, так как активная мощность рассеивается на резисторах. В правой части (14) сумма слагаемых больше нуля, но отдельные члены тут могут иметь символ “-”, что гласит о Лекция n 6 том, что надлежащие источники работают в режиме потребителей энергии (к примеру, заряд аккума).

б) Переменный ток.

Из закона сохранения энергии следует, что сумма всех отдаваемых активных мощностей равна сумме всех потребляемых Лекция n 6 активных мощностей, т.е.



(15)

 

В ТОЭ доказывается (вследствие достаточной громоздкости вывода это подтверждение опустим), что баланс соблюдается и для реактивных мощностей:

 ,

(16)

 

где символ “+” относится к индуктивным элементам , “-” – к емкостным .

Умножив (16) на “j” и Лекция n 6 сложив приобретенный итог с (15), придем к аналитическому выражению баланса мощностей в цепях синусоидального тока (без учета обоюдной индуктивности):



либо

.

Литература

  1. Базы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В Лекция n 6.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

  2. Бессонов Л.А. Теоретические базы электротехники: Электронные цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш Лекция n 6. шк., 1978. –528с.


lekciya-pyataya-okonchanie.html
lekciya-razrabotka-prikladnih-programm-lekciya-razrabotka-prikladnih-programm.html
lekciya-regionalnaya-struktura-nacionalnoj-ekonomiki-2-ch.html